robin2

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August 12, 2007

Conics

I don't think it's normally a good idea to try to translate something on a topic you don't understand from a language you don't speak. But that's OK: I like a challenge. So, here's a tiny bit of La Hire's Nouvelle Method.

Defintion

I'appelle une ligne droitte A D couppée en 3 parties harmoniquement quand le rectangle contenu sous la toutte A D & la partie du milieu B C est égal au rectangle contenu sous les deux parties extreme A B, C D: ou bien lorsque la toutte A D est à l'une des extremes A B ou C D comme l'autre extreme C D ou A B est à la partie du milieu ce qui est la mesme chose.

I say that a straight line AD is cut harmonically into 3 parts if the rectangle contain by the whole AD and the middle part BC is equal to the rectangle contained by the two extreme parts AB and CD; or equally, that the whole AD is to one of the extremes AB or CD as the other extreme CD or AB is to the middle part, which is the same thing.

Well that's not too bad.

Lemme 1 (Fig 1)

Coupper une ligne droitte donnée A D en trois parties harmoniquement.

De l'une des extremitez D de la ligne A D soit tiré la ligne D G faisant quelqu'angle avec la ligne A D & soit D G à D E en quelle proportion l'on voudra, & ayant tiré la ligne G A, par la point E on menera une ligne E C F paralelle à G A & C F estant prise égale à C E que l'on joigne G F qui couppera la ligne A D au point B: Je dis que comme D A est à D C ainsi B A est à B C.

Dans le triangle D G A la ligne E C étant paralelle à la base G A, D G sera à D E comme D A à D C & comme D A à D C aussi G A à E C ou à C F son égale: mais à cause que les lignes G A & C F sont paralelles les triangles B A G, B C F seront semblables, & par consequent G A sera à C F comme B A à B C, mais G A est à C F comme D A à D C: D A sera donc à D C comme B A à B C, ce qu'il falloit faire.

To cut a given straight line AD harmonically into 3 parts.

From one of the extremities D of the line AD draw the line DG making some angle with the line AD, and make DG to DE in whatever proportion you want. Having drawn the line GA, from the point E take a line ECF parallel to GA and such that CF equals CE. Draw the line GF which cuts the line AD at point B. I say that DA is to DC as BA is to BC.

In the triangle DGA the line EC is parallel to the base GA. DG is to DE as DA is to DC, and DA to DC as GA to EC or to CF (its equal). As the lines GA and CG are parallel the triangles BAG and BCF are similar, and so GA is to CF as BA to BC. But GA is to CF as DA to DC. Therefore DA is to DC as BA to BC. QEF

I think there's something a little rum about his use of colons. Also, I have no idea what tenses the various verbs are in (e.g. sont vs seront).

Lemme 2 (Fig 2)

Si une ligne droitte A D estant couppée en trois parties harmoniquement, & ayant pris un point E hors de cette ligne mesme se elle étoit prolongée, si l'on tire de ce point E des lignes prolongée par les poins de division A, B, C, D de la ligne A D: Je dis que la ligne F I menée paralelle à A D & couppant les 4 lignes E A, E B, E C, E D aux poins F, G, H I sera aussi couppée en ces poins en 3 parties harmoniquement.

Dans le triangle E A D la ligne droitte F I est paralelle à la base A D, donc dans chaque triangle E A B, E B C, E C D les parties de la ligne F I à sçavoir F G, G H, H I seront paralelles aux bases A B, B C, C D; c'est pourquoy comme A D est à F I ainsi E A est à E F & comme E A est à E F ainsi A B est à F G: Mais comme E A est à E F ainsi E B est à E G: Mais comme E B est à E G ainse B C à G H. deplus comme E A est à E F ainsi E C est à E H; & comme E C est à E H ainsi C D à H I, c'est pourquoy comme la toutte A D & chacune de ses parties A B, B C, C D, sont entr'elles ainsi la toutte F I & chacune de ses parties aussi F G, G H, G I seront entr'elles estant chacune separement l'une à l'autre comme E A à E F ainsi qu'il a esté démontré. C'est pourquoy puisque A D est à A B, comme C D est à C B; ainsi F I sera à F G comme H I à H G, ce qu'il falloit prouver.

A straight line AD is cut harmonically into three parts: take a point E not lying on this line (even if it is extended), and extend lines from this point C to the points of division A, B, C, D of the line AD. I say that a line FI taken parallel and cutting the 4 line EA, EB, EC, ED at points F, G, H, I will also be cut harmonically into 3 parts at these points.

In the triangle EAD the straight line FI is parallel to the base AD, hence in each triangle EAB, EBC, ECD the parts of the line FI (to wit, FG, GH, HI) are parallel to the bases AB, BC, CD; this is why as AD is to FI so EA is to EF, and EA is to EF as AB is to FG. As EA is to EF so EB is to EG. As EB is to EG so BC to GH. Moreover, as EA to EF so is EC to EH; and as EC to EH also CD to HI, which is why as the proportions amongst the whole AD and each of its parts AB, BC, CD are, so the proportions amongst the whole FI and each of its part FG, GH, GI will be, as is shown. This is why just as AD is to AB, as CD is to CB; so FI will be to FG, as HI to HG. QED

I got a bit lost toward the end of the second paragraph here. Having all the proportions spelt out in words isn't helping at all. It also seems to me that mais is being used as a generic connective. I don't know what to make of sçavoir.

Scholie

Mais si l'on tire par les poins de division A, B, C, D, de la ligne A D des lignes E A, E B, E C, E D paralelles entre'elles: Je dis de mesme que la ligne F I menée paralelle à A D couppant ces quatre lignes aux poins F, G, H, I, sera divisée par ces mesmes poins en 3 parties harmoniquement.

La demonstration en est évidente puisque ces 4 lignes E A, E B, E C, E D étant paralelles entr'elles & les 2 A B, F I l'étant aussi entr'elles composent les 4 paralellogrammes A I, A G, B H & C I & pat consequent les costez opposes seront égaux & en mesme proportion entr'eux, ce qu'il falloit démontrer.

Take from the points of division of the line AD some mutually parallel lines EA, EB, EC. I say that the line FI taken parallel to AD cutting these four lines in points F, G, H, I will be divided harmonically into 3 parts by these points.

The proof is evident as these 4 lines EA, EB, EC & ED—being mutually parallel—and the 2 lines AB & FI—also being mutually parallel—form the 4 parallelograms AI, AG, BH & CI and so the opposite sides will be equal and in the same proportions. QED

He doesn't say as much, but he's taking E to be a point at infinity here. It wouldn't change the argument if the 4 parallel lines were designated without making this step.

Lemme 3 (Fig 3)

Les mesmes choses que cy-devant étant posée: si l'on mene la ligne droitte F H paralelle à l'une des extremes E A ou E D des 4 lignes menées du point E par les poins de devision de la ligne A D: Je dis que la ligne F G H sera couppée en 2 parties égales par les 3 autres lignes E A, E B, E C.

Du point F on tirera la ligne F d paralelle à A D & du point H on tirera H I paralelle à celle du milieu E B des trois lignes, qui couppent la ligne F H jusques à la rencontre de F d en I.

Par le Lemme precedent la ligne F d sera couppée en 3 parties aux poins F, c, b, d harmoniquement: mais à cause des paralelles E d & F G les triangles c d E, c F H seront semblabes, c'est pourquoy E c sera à c H comme d c à c F en composant E H sera à E c comme d F à d c & en raison inverse E c sera à E H comme d c à d F. par mesme raison à cause des paralelles E b, H I les triangles c E b, c H I seront semblables & en composant & renversant comme cy-devant E c sera à E H comme b c à b I, donc b c est à b I comme d c est à d F: mais comme d c est à d F de position ainsi b c est à b F de position, b c sera donc à b F comme b c à b I & par consequent b F & b I seront égales: mais au triangle F H I, b G est paralelle à la base H I & la ligne b G divise en 2 également la ligne F I au point b: elle divisera donc aussi en 2 également la ligne F H au point G, ce qu'il falloit prouver.

In the same situation as above: take the straight line FH parallel parallel to one of the extremes EA or ED of the 4 lines taken from the point E through the points of division of the line AD. I say that the line FGH is cut in two equal parts by the 3 other lines EA, EB, EC.

From the point F take the line Fd parallel to AD and from point H take HI parallel to EB—the middle one of the three lines—and with FH and Fd intersecting at I.

By the previous lemma the line Fd is cut harmonically into 3 parts by the points F, c, b, d: but because of the parallels Ed & FG the triangles cdE, cFG are similar, which is why Ec will be to cH as dc to cF and, adding them, EH will be to Ec as dF to dc, & in inverse ratio Ec will be to EH as dc to dF. Likewise, because of the parallels Eb, HI the triangles cEb, cHI will be similar; and adding and reversing as before Ec will be to EH as bc to bI. Hence bc is to bI as dc is to dF. But as dc is to dF so bc is to bF, so bc will be to bF as bc to bI and therefore b F and b I will be equal. In the triangle FHI, bG is parallel to the base HI and the line bG divides the line FI evenly in 2 at the point b: it therefore also will divide the line FH even in 2 at the point G. QED

I have no idea what the significance of the use of lower-case letters might be: none, I'd say. This proof is to do with what happens to 4 points in involution when one of them goes to infinity.

Lemme 4 (Fig 4)

Une ligne droitte B D étant couppée en 2 également au point C; si l'on prend quelque point A hors de cette ligne mesme si elle étoit prolongée, & ayant mené les lignes A B, A C, A D prolongées vers les parties de B D, si l'on tire par le point A la ligne I A H paralelle à B D: Je dis que la ligne droitte E H couppant les lignes A B, A C, A D, A H aux poins E, F, G, H sera couppée en 3 parties harminiquement en ces mesmes poins.

Que l'on mene par le point F la ligne droitte b F d, paralelle à B D qui sera divisée en 2 également en F: mais b F d & A H étant paralelles les triangles E b F, E A H seront semblables donc E F sera à E H comme b F à A H, mais comme b F est à A H ainsi F d qui est égale à b F sera à A H & à cause des paralelles F d & A H les triangles G F d, G H A seront semblables & par consequent comme F d est à A H ainsi G F est à G H, mais aussi comme F d est à A H ainsi E F est à E H donc E F est à E H comme G F est à G H, ce qu'il falloit démontrer.

The straight line BD is cut evenly in 2 at the point C. Take a point point A not lying on this line (even if it is extended), and have the lines AB, AC, AD extended from the parts of BD. Draw through the point A the line IAH parallel to BD. I say that the straight line EG cutting the lines AB, AC, AD, AH at the points E, F, G & H will be cut harmonically into 3 parts at these points.

Through the point F draw the straight line bFd, parallel to BD which will be divided evenly in two at F. bFd and AH being parallel, the triangles EbF, EAH will be similar, and so EF will be to EH as bF to AH. bF is to AH as Fd—which is equal to bF—will be to AH. Because of the parallels Fd and AH the triangles GFd, GHA will be similar, and so as Fd is to AH so GF is to GH. But also as Fd is to AH so EF is to EH. Therefore EF is to EH as GD is to GH. QED

I haven't got this ainsi/aussi thing at all sussed.

Corrolaire

De cecy il est évident que les lignes A I, A B, A C, A D, A H sont diposées de telle façon que de quelque maniere qu'on les couppe soit avec la ligne E H ou avec la ligne e I elles feront toûm;jours sur la ligne couppante 3 parties E F, F G, G H ou bien e F, F g, g I en sorte queces lignes seront ainsi couppées en ces trois parties harmoniquement pourveu que la ligne couppante couppe quatre de ces lignes: car si elle n'en couppoit que trois & qu'elle fut paralelle à une quatriéme elle seroit divisée par ces trois lignes en 2 parties égales par le Lemme troisiéme.

In this it is evident that the lines AI, AB, AC, AD, AH are are arranged in this way so that in some manner one cuts them with the line EH or with the line eI they will always cut the line in three parts—EF, FG, GH or eF, Fg, gI—such that these lines will be cut harmonically into 3 parts whenever the cutting line cuts 4 of these lines: but it if only cuts three and is parallel to the fourth it will be divided by the tree lines evenly in 2, but the third lemma.

I've got something badly wrong here: there are too many words for what I've come up with, and the expression telle façon comes up again later, suggesting that it's a piece of stock terminology.

Lemme 5 (Fig 5)

Une ligne droite C F estant couppée aux poins C, D, E, F, en trois parties harmoniquement: si l'on prend quelque point A hors de cette ligne, mesme si elle estoit prolongée & si ayant tiré des lignes A C, A D, A E, A F prolongées par le point A & par les poins de division de la ligne C D E F, on tire quelque ligne G M qui couppe ces 4 lignes aux poins G, H, L, M: Je dis que la ligne G M est couppée en 3 parties par les poins G, H, L, M harmoniquement.

Car ayant mené du point C la ligne C O paralelle à A F la ligne droitte C O sera couppée en deux également au point N par la ligne A D par le 3^me Lemme & par le Corrolair du 4^me les lignes A C, A D N, A E O, A F seront disposées de telle façon que la ligne droitte G M les couppant toutes quatre aux poins G, H, L, M elle sera divisée par ces mesmes poins en 3 parties harmoniquement, ce qu'il falloit démontrer.

A straight line CF is cut at points C, D, E, F harmonically into 3 parts. Take some point A not lying on this line (even if it is extended) and have the lines AC, AD, AE, AF extend from the point A through the points of division of the line CDEF. Then take some line GM which cuts these 4 lines at points G, H, L, M. I say that the line GM is cut harmonically into 3 parts by the points G, H, L, M.

By taking from the point C the line CO parallel to AF the straight line CO will be cut evenly into two at the point N on the line AD by the 3rd lemma and by the corollary of the 4th the lines AC, ADN, AEO, AF will be arranged in such a way that the straight line GM cutting all 4 of them at the points G, H, L, N will be divided harmonically into 3 parts by these points. QED

Scholie (Fig 6)

Mais si par les poins de division de la ligne C F on tire les lignes A C, A D, A E, A F toutes paralelles entr'elles: Je dis aussi que la ligne G M couppant ces 4 lignes aux poins G, H, L, M sera divisée par ces mesmes poins en 3 parties harmoniquement.

La demonstration ce cecy est claire: car à cause des paralelles les triangles I M F, I L E, I G C, I H D seront semblables & en composant & divisant leurs costez qui sont entr'eux en mesme proportion on fera comme la toutte F C à toutte M G ainsi la partie F E à la partie M L & comme D C à H G ainsi D E à H L donc M G à M L comme H G à H L car F C est donnée deposition à F E comme D C à D E.

Now through the points of division of the line CF draw the lines AC, AD, AE, AF. I still say that the line GM cutting these 4 lines at points G, H, L, M will be divided harmonically into 3 parts

The proof of this is clear: because of the parallels the triangles IMF, ILE, IGC, IHD will be similar, and adding and dividing their sides which are in the same proportion, one finds that as the whole FC to the whole MG so also the part FE to the part ML, and as DC to HG so DE to HL, therefore MG to ML as HE to HL, therefore MG to ML as HG to HL as FC is to be to FE as DC to DE.

OK, that's enough.

Posted by robin2 at 02:19 AM | Comments (0)